DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Son todos los posibles valores que resultan de un experimento aleatorio, junto con la probabilidad asociada a cada valor
Algunos la denominan como método exacto y corresponde a una distribución de variable aleatoria discreta. Se puede considerar "que si durante repetidos ensayos, siendo p la probabilidad de éxito en un solo ensayo, la cual debe permanecer fija, y q la probabilidad de fracaso, entonces la probabilidad P de que se obtenga X éxitos en n ensayos, es el término del desarrollo binomial de (q+p) a la n“. La fórmula general para cada término es:
Distribución Binomial
n= número de ensayos
x = número de éxitos
p = probabilidad de éxito en cada ensayo
q = probabilidad de fracaso en cada ensayo
Lo anterior sabiendo que la expresión entre el paréntesis determina una convinación
Tener en cuenta
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Debe existir un número fijo de pruebas repetidas (n)
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Cada una de las n pruebas debe tener dos resultados, favorable o desfavorable. En el caso de la moneda, será: cara o sello, por lo tanto son sucesos mutuamente excluyentes.
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La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fijo, algo similar sucede con la probabilidad de fracaso.
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Las pruebas son independientes, ya que el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro.
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Nos interesa el número de éxitos en n pruebas
Ejemplo 1:
El siguiente es el espacio muestral para un experimento de lanzar cuatro monedas, considerando como éxito la aparición de cara, con el siguiente resultado:
Tomamos p como la probabilidad de cara P(c) y q la de sello P(s). Supongamos que en el lanzamiento de 4 monedas, se quiera obtener éxito (cara) en la primera y tercera moneda y fracaso (sello) en la segunda y cuarta; se tendrá que:
Veamos las probabilidades asignadas a los 16 puntos muestrales del experimento anterior al lanzar cuatro monedas:
Si X representa al número de éxitos (caras) que se desea ocurran, se podrá elaborar la siguiente tabla de probabilidades. Siendo: p = 1/2 y q = 1/2.
A continuación podemos ver la tabla de distribución de probabilidades:
Ejemplo 2:
Supongamos el lanzamiento de 12 monedas o una moneda lanzada 12 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 caras?
Distribución de Poisson
En una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta, y p, la probabilidad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras que q la probabilidad de fracaso se aproxima a 1, de tal manera que el producto de np, simbolizado por lambda, sea menor o igual a 5, debe utilizarse la distribución de Poisson.
Ejemplo:
Si el 1% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que, en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas
Distribución Normal
Corresponde a una Distribución de variable aleatoria continua, que se extiende sobre un campo de variabilidad infinito. Todo ejercicio planteado como Binomial, en especial cuando (n) el número de experimentos realizados es grande, se debe resolver mediante la distribución Normal. Este procedimiento permite facilitar y agilizar las operaciones, cuyo resultado no será exacto (método binomial) sino un valor bastante aproximado, razón por la cual algunos lo identifican como método aproximado.
Tal como se hizo en la distribución binomial, esta distribución nos permite elaborar una tabla de frecuencias teóricas o probabilisticas, con los resultados se podrá calcular la media, la varianza y la desviación típica, al igual como se hacía en la estadística descriptiva, a fin de compararlo con los resultados obtenidos a través de la distribución binomial, donde:
Teorema: Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo experimento y q es la probabilidad de fracaso, entonces la distribución binomial que da las frecuencias esperadas para 0, 1,....n éxitos en n experimentos, tiene como media μ y desviación típica σ
Al realizar una representación gráfica de una distribución normal, elaboramos un histograma de frecuencias; uniendo los puntos medios en la parte superior de cada rectángulo, obtenemos una curva, conocida como curva normal, curva de Gauss o Campana de Gauss.
Se debe recordar que la variable en una distribución binomial es discreta y se debe transformar en una variable continua, cuando se quiere utilizar la distribución normal; dado que la amplitud del intervalo siempre va a ser uno (c = 1), se divide entre dos (c/2), siendo igual a 0,5. Ahora, al restarlo establecemos el límite inferior y al sumarlo se obtiene el límite superior de cada intervalo
Los valores bajo la curva correspondientes a las equivalencias de las probabilidades, en cuanto a los resultados obtenidos de Z, los podemos consultar a partir de la siguiente tabla:
Tener en cuenta
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La curva es simétrica.
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El área bajo la curva es igual al 100%.
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La curva no toca el eje horizontal (X) ya que es asintótica, se prolonga indefinidamente.
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La media µ se localiza en el centro de la curva, es decir, cada parte es igual al 50%
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X toma valores de menor a mayor, es decir, de izquierda a derecha.
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Al estandarizar, convertir los valores de X en valores de Z, ésta tendrá una media µ = 0 y σ = 1 y Z tomará valores desde -3 hasta +3 que cubre un área en el 99,7%, casi igual al 100%.
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La variante estadística Z es una medida de las desviaciones estándar o de las llamadas unidades estandarizadas, conocida como desviación normal.
Ejemplo:
En el lanzamiento de 12 monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 caras?
Con la distribución binomial obteníamos el valor exacto, así:
Ahora con la distribución normal:
µ = 12 (0,5) = 6
σ = √(12(0,5)(0,5)) = 1,73
Con la media y desviación típica en una distribución binomial, X es la variable discreta, (X = 4) setransforma en continua, sumando y restando 0,5 al valor de 4
