Probabilidad
Se puede definir como el grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso; nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tenga.
Se puede hablar de Posibilidades y de Probabilidades, el primero hace referencia a la comparación entre el número de resultados favorables con los desfavorables: "N°. de defectuosos" /"N°. de no defectuosos" .
En el segundo es el cociente entre el número favorable o desfavorable (según sea el caso) sobre el total de casos posibles:
Ejemplo: Supongamos que se lanza 100 veces una moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:
Suceso
Se llamará suceso a cada caso posible, es decir, a la realización de un acontecimiento y este puede ser:
-
Un hecho es cierto, cuando son favorables todos los casos posibles.
-
Un hecho verosímil a un suceso susceptible de realizarse, pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 0,5.
-
Si la probabilidad es igual a 0,5 será un hecho dudoso, ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales. Hecho inverosímil, se presenta cuando la probabilidad es menor que 0,5 y mayor que cero.
-
Hecho imposible, es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido
Espacio Muestral
Prueba es la realización de un acto. El conjunto de pruebas realizadas en las mismas condiciones se denomina experimento. La respuesta de una prueba se llama resultado, punto muestral o suceso. El conjunto de todos los resultados posibles constituye un espacio muestral. Un evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales
Ejemplos:
Experimento: lanzamiento de una moneda teórica
U = {C, S}
Experimento: lanzamiento de dos monedas, asignando la probabilidad a cada suceso.
U = {CC, CS, SC, SS}
Experimento: lanzamiento de dos dados.
Diagrama de Árbol
Es una de las maneras que permite determinar diversos eventos posibles, al contar los puntos muestrales.
Ejemplo:
En el lanzamiento de tres monedas, se tendrá:
Esperanza Matemática
Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, el número de sucesos o la esperanza de ese suceso en n ensayos, estará dado por el producto de n y la probabilidad de éxito p.
E = nP
Ejemplo:
En el lanzamiento de dos dados 900 veces. ¿Cuál es la esperanza de que en la suma de sus caras se obtenga un valor menor a 6?
Solución:
Primero obtenemos la probabilidad de éxito que el suceso sea un valor menor a 6 en un solo ensayo:
(11) (12) (21) (22) (23) (32) (13) (31) (41) (14)
P = 10/36
Como se lanza el dado 900 veces, entonces:
E = nP = 900(10/36) = 250
Se espera que 250 de los 900 lanzamientos, la suma de sus caras resulte un valor menor a 6.
Permutaciones y combinaciones
Las permutaciones son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto; también se puede considerar como un conjunto de cosas extraídas en un orden específico y sin reemplazo de un conjunto igual o mayor.
Generalmente simbolizado por:
Pn = n! o como nPn = n!
Lo anterior se lee como “permutaciones de n elementos tomados de n en n”
Ejemplo: Supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4 y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la fórmula anterior se tendrá que:
4P4 = P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Veamos cuales serían esas cifras:
Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía: en este caso nos referimos a Permutaciones con repetición
Ejemplo: Con la palabra CASA tendríamos un número de palabras inferior a 24, en el caso de que no se haga distinción de la A.
En las permutaciones cuando no se utilizan todos los elementos, sino una parte de ellos, algunos lo denominan como variaciones, cuya fórmula está dada así:
Ejemplo: En el ejemplo de los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 del y formemos cifras de 2 dígitos, con los siguientes resultados
Combinaciones. Son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se dispongan.
Ejemplo: Cambiemos el ejercicio de los 4 números naturales por las primeras cuatro letras del alfabeto ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer?
Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo
ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB = etc.
Reglas Básicas de Probabilidad
Sucesos igualmente probable: lanzar una moneda, aparición de cara o sello.
Sucesos opuesto o contrario: siendo aquellos que se complementan básicamente.
Sucesos ciertos: una moneda con dos caras.
Sucesos imposibles: lanzar un dado y que aparezca en la cara superior un 8.
Sucesos compatibles: Se dice que dos sucesos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro. Ejemplo: que puede suceder en una baraja, aparezca simultáneamente un seis y que sea oros.
Sucesos mutuamente excluyentes: al lanzar un dado, aparece un dos o un seis.
Sucesos independientes: al lanzar dos dados, obtener en el primero un dos y en el segundo, un seis.
Sucesos dependientes: la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro
Regla de la Adición
Si dos o más sucesos son tales, que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.
Ejemplo: La probabilidad de obtener un As o un Rey, sacando una sola carta en una baraja española de 40 cartas. Si uno de los casos aparece, queda excluido el otro.
Regla de la Multiplicación
Se dice que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro. En caso contrario se dice que son dependientes
Ejemplo: ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 reyes sacando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja?
Ejemplo: De una baraja de 40 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un as y en la segunda un rey de oros y en la tercera un seis de copas?
Se dice que dos o más eventos son independientes entre si, la ocurrencia de un evento no está relacionada con la ocurrencia de los otros. Si hay tres eventos independientes A, B y C, la probabilidad de que ocurran A, B y C se obtiene al multiplicar las tres probabilidades.
La diferencia entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes.
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En el primero se tiene un solo dado, una baraja; en el segundo son dos o más dados o barajas.
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En el primero se extrae una sola carta, o se obtiene una sola cara, es decir, se espera la presentación de un suceso; en el segundo se espera la presentación de dos o más sucesos.
-
En el primero utilizamos la conjunción “o” y en el segundo la conjunción “y”.
Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, el del tercero de lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente.
Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional de A, dado B, se tendrá que:
En el caso contrario, es decir, la probabilidad condicional de
La probabilidad condicional es aquella que se presenta en un evento o suceso, dado que otro evento ya ha ocurrido.
Existe también la probabilidad conjunta cuando se presentan dos o más eventos en forma simultánea.
Todos se presentan bajo condiciones de dependencia estadística. No hay que olvidar que existen las probabilidades marginales, correspondientes a una probabilidad incondicional de que se presente un evento, se refiere a la probabilidad de un solo evento.
Ejemplo:
El 18% de las familias de un barrio tienen vehículo propio, el 20% tiene vivienda de su propiedad y el 12% vivienda y vehículo. ¿Cuál es la probabilidad de tener vivienda si se tiene vehículo?
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es un método aplicado generalmente para calcular probabilidades posteriores. Este teorema se aplica cuando se formulan hipótesis a posteriori sobre la probabilidad a priori de eventos ya ocurridos. La fórmula general aplicable es:
Este teorema establece, que si sucede cierto evento, que depende de la ocurrencia de los eventos A o B o C correspondientes a un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que B haya ocurrido a consecuencia de A, lo cual lo expresamos: P(Ai B ) corresponda al producto de las probabilidades individuales del evento A y del evento B, dividido por la probabilidad alternativa del evento B con respecto a cada uno de los eventos independientes de A, B y C. La fórmula siguiente está dada en el caso que utilicemos las letras A, B y C.
La fórmula siguiente está dada en el caso que utilicemos las letras A, B y C.
Ejemplo:
Se tienen 4 máquinas A, B, C y D. Por especificaciones y control conocemos la capacidad de producción de cada máquina, durante un determinado período (1 hora) así: A. una producción de 600; B, de 400; C, de 300, y D, de 700 unidades, es decir, en términos porcentuales A produce el 30%, B el 20%, C el 15%, y D el 35%. Mediante un proceso de observación se ha detectado que el porcentaje de unidades defectuosas producidas por cada una de las máquinas es del 4%, 3%, 6% y 5%, respectivamente. Si procedemos a sacar un elemento del total del lote examinado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un elemento defectuoso producido por la máquina A, o por la máquina B, o por la máquina C o por la máquina D?
Sabemos que:
P(A) = 0,30 P(B) = 0,20 P(C) = 0,15 P(D) = 0,35
Son las probabilidades de que un elemento haya sido producido en A, B, C o D, respectivamente.
Siendo:
P(AD) = 0,04 P(BD) = 0,03 P(CD) = 0,06 P(DD) = 0,05
Las probabilidades de que sea un elemento defectuoso en cada una de las máquinas.
De acuerdo a lo anterior, se puede determinar la probabilidad conjunta de ser producido en cierta máquina y poseer un defecto, de la siguiente manera:
P(A) P(AD) = 0,30(0,04) = 0.012 P(B) P(BD) = 0,20(0,03) = 0.006
P(C) P(CD) = 0,15(0,06) = 0.009 P(D) P(DD) = 0,35(0,05) = 0.0175
La suma de las probabilidades será = 0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445
Para calcular la probabilidad de que la unidad defectuosa haya sido producida por cada una de las 4 máquinas, utilizamos la fórmula de Bayes, así:
