Medidas de Tendencia Central
Las medidas de posición o de tendencia central, denominadas también como promedios, nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual lo consideramos como representativo o típico, para el total de las observaciones
Media Aritmética
Se define como la “suma de todos los valores observados, divididos por el número total de observaciones” De esta forma definida, sólo se aplica en datos sin agrupar, también denominados como datos originales.
La fórmula para calcular la media aritmética en datos sin agrupar, sería la siguiente:
Ejemplo: Supongamos que dispone de información para 10 observaciones:
8, 2, 8, 6, 2, 2, 6, 8, 2, 4
La media aritmética será:
Ahora si calculamos la media aritmética de las mismas 10 observaciones, pero ordenadas, el resultado obtenido será el mismo:
¿Qué se ha hecho? Simplemente se han organizado los datos en una tabla de frecuencias, es decir la formula se ajustaría de la siguiente manera:
Mediana
Es considerada también, al igual que la Media, como una medida de tendencia central.
Se define como “aquel valor de la variable que supera a no más de la mitad de las observaciones, al mismo tiempo, es superado por no más de la mitad de las observaciones” en otras palabras, se puede definir como el “valor central”. Se simboliza por Me
Ejemplo 1 para datos sin agrupar: Supongamos se tienen los siguientes datos:
2 18 4 12 6
Observemos que la serie es impar, ya que n = 5 por lo tanto ordenamos los datos, de menor a mayor:
2 4 6 12 18
La mediana será igual al valor central Me = 6
Ejemplo 2 para datos sin agrupar: Ahora calcularemos la mediana, cuando se tenga un número par de observaciones. En estos casos, encontramos dos valores en el centro de la serie, por tal razón la mediana deberá ser el promedio de ellos:
8 16 4 2 20 3 12 20
Ordenamos los datos de menor a mayor:
2 3 4 8 12 16 20 20
En este caso, podemos ver que la mediana es un valor intermedio entre 8 y 12, en este caso se hace necesario promediar este valor así:
Ejemplo para datos agrupados en variable discreta: Para la siguiente tabla de distribución de frecuencias, determinar la mediana.
En este caso se debe recurrir a la siguiente fórmula para determinar la posición donde se encuentra la mediana:
Es decir que la mediana se encuentra localizada en el elemento o posición 15,5, como se puede observar en la tabla, el elemento 15 es un 2 y el elemento 16 es un 3, por lo tanto el elemento 15,5 es la posición intermedia entre estos 2 valores, al igual que con el anterior ejemplo, se procedería promediar este valor así:
También se puede comprobar el anterior resultado, transformando la distribución de frecuencias en una variable que nos muestre los datos originales o que éstos se encuentren sin agrupar:
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
La mediana se localiza entre los valores ubicados entre la posición 15ª y 16ª
Ejemplo para datos agrupados en variable continua: Para la siguiente tabla de distribución de frecuencias, determinar la mediana.
Para el anterior caso, se debe utilizar la siguiente fórmula:
De esta manera, para poder utilizarla, se hace necesario conocer la posición en la cual se encuentra la mediana, al igual que en el anterior ejemplo, así:
Como se puede observar, la posición de la mediana se encuentra en la posición 20, dirigiéndonos a la tabla de distribución de frecuencias, este valor se encuentra en la tercera fila, donde el conteo va, desde el elemento 12 hasta el elemento 22, por lo tanto en elemento 20 se encuentra allí . Ahora, sólo queda reemplazar la información en la fórmula, así:
Moda
Se define como “el valor de la variable que más se repite” o “aquel valor que presenta la máxima frecuencia”. Puede suceder que una distribución tenga dos Modas, en este caso se dice que la distribución es Bimodal, en el caso que haya más de dos modas, se dice que es plurimodal o multimodal. La moda se representa con las letras Md
Ejemplo:
Consideremos los siguientes datos:
5, 10, 8, 5, 10, 18, 5, 12, 5, 12
La moda corresponderá a 5, siendo el valor de la variable que más se repite
Md = 5
Ejemplo para datos agrupados en variable discreta: Tomando en cuenta la siguiente información, y de acuerdo a la definición de moda, esta es la que más se repite, por lo tanto, en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, podemos observar que la moda es el elemento 4, el cual se repite 8 veces, por lo tanto la moda en este caso es Y4 = 3
En el caso de encontrarnos con una distribución en datos agrupados de variable continua, se trabajará con la siguiente fórmula:
Ejemplo para datos agrupados en variable continua: Para la siguiente tabla de distribución de frecuencias, determinar la moda.
En este caso, lo primero que se debe determinar, es la fila en la cual estan los datos que más se repiten, como se puede observar en la tabla, esta fila es la tercera.
Teniendo determinada la fila, nada más es reemplazar datos en la formula, así:
ni+1 corresponde a la frecuencia absoluta siguiente a la fila donde se encuentra la moda, en este caso 7
ni-1 corresponde a la frecuencia absoluta anterior, en este caso 8
Cuartices, Deciles y Percentiles
Cuando la distribución está constituida por un número grande de intervalos o de marcas de clase, haciéndose necesario calcular un promedio sobre una parte de ella, en estos casos, la distribución puede ser distribuida en cuatro, en diez o en cien partes. En el primer caso nos referiremos a Cuartiles, en el segundo a Deciles y en el tercero a Percentiles o Centiles